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[수학] 최소자승법 활용법

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작성일 23-02-04 14:52

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[수학] 최소자승법 활용법
●최소자승법 (Method of Least Squares) 이란? N회 측정(測定) 한 측정(測定) 값 y1,y2,...,yn이 어떤 다른 측정(測定) 값 x1,x2,...xn 의 함수라고 추정할 수 있을 때,측정(測定) 값 yi와 함수값 f(xi)의 차이를 제곱한 것의 합
일반적으로 어떤 test(실험) 을 행할 때, 변량 x (독립변수 Independent Variable)를 변경해가며,그에 따른 test(실험) 값 y (종속변수 Dependent Variable)의 쌍 (x,y)을 얻는다.그리고, 이 관념 및 수식을 활용하여, 엑셀을 사용한 다량의 데이터 처리방법을 익혀보자.

최소자승법 활용법,최소자승법

일반적으로 어떤 실험을 행할 때, 변량 x (독립변수 Independent Variable)를 변경해가며,그에 따른 실험값 y (종속변수 Dependent Variable)의 쌍 (x,y)을 얻는다.이렇게 해서 구해진 함수 y=f(x)는 이 측정(測定) 값들의 관계에 가장 적합한 함수라고 할 수 있다아 이해를 돕기 위해 다음의 그림을 살펴보자.다음의 그림에서 표시된 각 점들은 측정(測定) 값 (xi,yi)이고, 직선 (xi,f(xi))은 최소자승법을 사용해 구한, 측정(測定) 값들의 분포를 가장 잘 나타내는 일차함수이다.
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이 최소가 되도록 하는 함수 f(x)를 구하는 것이 최소자승법의 원리이다.test(실험) 을 N회 반복하여 (x1,y1), (x2,y2), ... (xn,yn)의 데이터를 확보했다고 하자.이 수많은 데이터들이 일정한 규칙성을 갖지 못한다면, 이 test(실험) 은 아무런 의미를 갖지 못한다.최소자승법은 이 편차의 제곱을 최소화하기 위한 방법이다.(이 편차를 그대로 더하면 양의 값과 음의 값의 합이 되기 때문에 적합한 결과를 얻지 못한다.

위의 그림에서 각 데이터 좌표에서 최적 함수까지의 거리를 고려해보자.이 직선이 최적의 함수라면, 이 차이가 가능한 한 최소의 값을 가질 것이다. 즉, 이 함수는 (측정(測定) 값-함수값)²의 총합(오차의 총합)이 최소가 되는 직선이라고 할 수 있다아

다.또한 절대값을 사용할 경우, 추후 미분계수 계산 시 문제가 발생할 수 있다아)편차 제곱의 총합 χ²를 오차(Residual)라고 하며, 다음과 같이 표현할수있다아
레포트 > 인문,어학계열
●최소자승법의 수학적 이해1) 최적 함수 y=a+bx 유도본격적으로 최소자승법을 사용하여 최적의 함수를 유도해보자.여기서는 가장 간단한 일차함수의 예를 들어 최소자승법의 수학적 관념을 說明(설명) 하고자 한다.실험을 N회 반복하여 (x1,y1), (x2,y2), ... (xn,yn)의 데이터를 확보했다고 하자.이 수많은 데이터들이 일정한 규칙성을 갖지 못한다면, 이 실험은 아무런 의미를 갖지 못한다.

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