수학의 7대 밀레니엄 과제(리만가설)
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작성일 23-03-06 01:08
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다. 그는 또한
1 - 21 - s ∞
∑
p 1
ns
ps )-1
1859년 리만(Riemann)은 소수에 관한, 8쪽의 짧은 논문을 발표하였다. 간단한 대수적 조작을 하면 ζ(s) = 1
수학 7대 과제 리만 리만가설 / ()
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순서
∏
p (1 - 1
n = 1 (-1)n - 1
설명
2000년 5월 24일 클레이 수학연구소는 리만 가설을 포함하여 백만 달러 현상금 문제 7개를 발표하였다. 학부 신입생도 이해할 수 있는 수준의 강연을 하는 것이 goal(목표) 였으나, 주제의 特性(특성)상 복소수 함수에 대한 약간의 지식을 가정할 수 밖에 없었다. 서울대학교에서는 12월 새 천년 수학문제 introduce회를 열어 그 중 4문제를 introduce하였다. ζ(s) = ∞
제타 함수에 대한 연구는 오일러(Eular)까지 거슬러 올라간다.
∑
p = ∞
물론 이것은 σ > 1일 때 정의(定義)되는 해석 함수(analytic function)이다. 리만의 유일한 수론 논문이지만, 다른 어떤 논문보다도 수론과 복소수 함수론에 심대한 effect(영향) 을 주었다. 강연내용을 재구성하다 보니 다소 엄밀성이 부족한 점에 대하여 독자의 양해를 구한다. 그 논문에서 리만은 리만 제타 함수(zeta function)의 중요한 성질들을 기술하고, 당시에 최대의 미해결 문제였던 소수 정리(arrangement)의 증명방법을 제시하였다. 리만 제타 함수는 아래와 같이 급수로 표현되는 복소수 함수이다. 그의 논문에서 리만이 주장한 제타 함수에 대한 사실들은 한 가지를 제외하고 모두 후에 엄격하게 증명되었다.
리만 제타 함수
여기서 곱은 모든 소수 p에 관한 것이다. 그는 제타 함수가 다음과 같은 곱셈formula(product formula)을 만족함을 observation하였다. 거기서 필자가 행한 강연 내용을 바탕으로 이 글은 구성되었다. 이 글을 쓰는데 조언을 주신 세종대 김영원 교수께 감사드린다. ζ(s) =
이중섭 (아주대학교)
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이 글은 2000년 3월자 대한수학회 소식 76호에 실린 글입니다. 그것은 제타 함수의 영점의 위치에 대한 추측인데, 그 스스로도 증명에 성공하지 못했다고 고백하고 있다 후에 이 추측은 리만 가설(Riemann Hypothesis)이란 이름을 얻게 되었고, 아직까지 그 해결을 기다리고 있다
수학의 7대 밀레니엄 과제(리만가설)
n = 1 1
수학 7대 과제 리만 리만가설
∑
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소수의 분호에 대한 더욱 깊은 결과를 얻기 위하여, 제타 함수의 정의(定義)역을 σ > 1인 반 평면보다 더욱 넓은 영역으로 확장할 필요가 있다 여기서는 비교적 손쉬운 방법 두 가지를 introduce한다. 지금부터 이 글의 마지막 절 이전까지, 제타 함수는 리만 제타 함수를 뜻하는 것으로 한다. 그 후 약 30년 동안 복소수 함수론을 발전시킨 결과, 아다마르(Hadamard)와 발레뿌셍(de la Vallee Poussin)이 소수 정리(arrangement)를 증명함으로써 결실을 맺게 된다된다.
임을 보였는데 이것은 소수의 개수는 무한하다는 유클리드(Euclid) 정리(arrangement)의 새로운 증명이다. 오일러의 작업의 중요한 의미는 제타 함수가 소수의 분포와 관련되어 있다는 사실의 발견이며, 이것은 해석학적 수론의 기원이라고 말할 수 있다
해석적 수론에서는 관례적으로 복소수를 s로 표시하며, 그것의 실수 부분은 σ, 허수부분을 t로 표시한다. 즉, s = σ + it이다.
